Взвешивания

ВЗВЕШИВАНИЯ

Задачи на взвешивание — тип олимпиадных задач по математике, в которых требуется выявить  отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Чаще всего в качестве взвешиваемых объектов используются монеты. Реже имеется также набор гирек известной массы.

Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Задачи данного типа чаще всего решаются методом рассуждений.

При решении этих задач часто используется следующее соображение: весы могут пребывать в одном из тёх состояний:

• перевесила левая чашка

• перевесила правая чашка

• чашки находятся в равновесии

Рассмотрим, как эти рассуждения применяются при решении задач.

1.Имеются чашечные весы и три монеты. Одна из монет фальшивая, она легче остальных. Как за одно взвешивание определить фальшивую монету?

РЕШЕНИЕ: Сравниваем любые две монеты. Если они равны, то третья фальшивая. Если не равны, то фальшивая более лёгкая.

2. а) Перед вами 9 монет, одна из них фальшивая (легче настоящих). Как за два взвешивания выяснить, какая монета фальшивая?

б) Перед вами 81 монета, одна из них фальшивая (легче настоящих). Сколько взвешиваний понадобится, чтобы выяснить, какая монета фальшивая?

в) А если монет 10, сколько взвешиваний понадобится?

РЕШЕНИЕ: а) Делим на три кучки по три монеты. Сравниваем между собой две из них, становится понятно, в какой кучке фальшивая монета. Этим мы свели задачу к задаче 0.

б) Делим на три кучки по 27, две сравниваем, выясняем, в какой фальшивая. Её снова делим на три части и так далее.

в) Минимум три взвешивания.

3. Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части — 9 и 15 кг?

РЕШЕНИЕ: Легко разделить 24 на две кучки по 12 кг, уравновесив весы. Потом одну из кучек делим ещё пополам, на кучки по 6 кг. Так же получаем 3 кг. Прибавляем их к одной из первых 12-ти килограммовых кучек, получаем 15. Осталось 9.

4. Из пяти монет две фальшивые. Одна из фальшивых монет легче настоящей, а другая — на столько же тяжелее настоящей. Объясните, как за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти обе фальшивые монеты.

РЕШЕНИЕ: Отложим одну монету, а на каждую чашу весов положим по две монеты. Возможны два случая. 

1) Весы в равновесии. Так как четырёх настоящих монет нет, то на одной чаше лежат обе фальшивые монеты. Следующим взвешиванием достаточно сравнить веса монет с одной чаши: если весы в равновесии, то эти монеты настоящие, и фальшивые монеты в другой чаше; если весы не в равновесии, то фальшивые монеты — на весах.

2) Одна из чаш перевесила. Тогда на весах находится или только лёгкая фальшивая монета в более лёгкой чаше или только тяжёлая фальшивая монета в более тяжёлой чаше, или обе монеты находятся в разных чашах. Вторым взвешиванием сравним веса монет в лёгкой чаше: если весы не в равновесии, то более лёгкая монета — фальшивая. Если весы в равновесии, то отложенная монета — фальшивая (и она лёгкая). Аналогично, третьим взвешиванием сравним веса монет из тяжёлой чаши: тогда, либо более тяжёлая монета — фальшивая, либо, если весы в равновесии, отложенная монета фальшивая (и она тяжёлая).

Задачи для самостоятельного решения.

1. У вас есть 24 с виду одинаковых 100-граммовых гирек и чашечные весы. Внезапно выясняется, что одна из гирек бракованная и весит чуть больше остальных.

Какое минимальное количество взвешиваний необходимо для определения бракованной гирьки?

2. Имеются чашечные весы без гирь и 4 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее (одинаковые монеты одного веса).

Сколько надо сделать взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?

3. Неточные весы показывают вес, который может отличаться от настоящего, но не больше, чем на 0,5 кг (при разных взвешиваниях отклонения показаний весов от истинного веса могут быть разными). Петя взвесил на них свой портфель. Весы показали 5 кг. Портфель Васи потянул на 4 кг. А когда Петя с Васей положили на весы оба портфеля, они показали 10,5 кг.

Сколько весит каждый портфель на самом деле?